R7: Apologia matematyka - G. H. Hardy

Recenzja 7

Apologia matematyka

Godfrey Harold Hardy

[tł. Marek Fedyszak, Prószyński i S-ka 1997]

Po przeczytaniu „Wybrańców bogów” – genialnej książki autorstwa Leopolda Infelda, polskiego fizyka teoretycznego, będącej zbeletryzowaną historią wybitnego matematyka francuskiego, Evarista Galois, który przeżywszy jedynie 20 lat zdeklasował wszystkie sławy matematyczne swojego czasu – odczuwałem pokusę przypisania specyficznego talentu literackiego umysłom ścisłym w ogóle. W dziele Infelda panowała bowiem niezwykła symetria i uporządkowanie, można by wręcz powiedzieć, że oszczędność środków – dało się odczuć, iż jego język był mocno trzymany w ryzach, mając za cel jedynie jasne przekazanie myśli autora bez zbędnych ozdobników. Zaskoczyła mnie właśnie ta poddańczość języka względem myśli, którą postawiono wysoko na piedestale – co niezwykle kontrastowało z biegunką słowną, występującą u wielu profesjonalnych literatów, którzy tak często pisząc byle pisać, zatracają cel pisania. Najznamienitsze było to, że owa ścisłość wcale nie zubożyła słownictwa, czy stylu autora, ale nadała całej książce szczególną wartość. Wiele wody w rzece upłynęło od tego czasu, a ja sam mocno się zmieniłem i przeczytawszy więcej książek stałem się bardziej wymagający w stosunku do przyszłych lektur – możliwe zatem, że gdybym teraz sięgnął ponownie po tę książkę – znalazłbym ją mniej ścisłą i czystą w formie niż za pierwszym razem. Niewiele jest rzeczy, które lśnią po latach. Tak czy inaczej, z mojego błędu płynie ważna nauka: Nigdy nie dokonuj oceny ogólnej na podstawie jednego przypadku tylko dlatego, że konkluzja wydaje Ci się sensowna – poczekaj na więcej danych i wówczas sprawdź czy przypuszczenie Twoje okaże się słuszne w każdym przypadku – w przeciwnym razie wniosek, który wydawać Ci się mógł błyskotliwym, będzie tylko bezwartościowym stereotypem.
Przejdźmy teraz do rzeczy – Hardy, matematyk światowej sławy, pomimo ścisłego umysłu, jest niechlujny w rozumowaniu i wywodach i podczas całego eseju bezwstydnie w piętkę goni. Lektura tej książki była dla mnie tak irytująca, że musiałem ją czytać na dwa razy. Po przeczytaniu połowy pół roku temu, porzuciłem ją i wróciłem doń dopiero teraz, coby dopełnić swych katuszy. Przy drugim podejściu (od paragrafu 12) stwierdziłem, że autor jest nie tylko niechlujny, ale przede wszystkim ograniczony i zakompleksiony. Celem (nieosiągniętym) eseju miało być usprawiedliwienie żywotu matematyka – ale po co? Kto wymaga takiego usprawiedliwienia? Nie wydaje mi się, aby istniało coś takiego jak usprawiedliwienie żywotu człowieka w ogólności, a co dopiero mówić o usprawiedliwianiu życia po zawodzie! W tym miejscu wypada nadmienić, że tłumaczenie tytułu na polski nie oddaje aluzji, która jest zawarta w języku angielskim. Tytuł oryginału A Mathematician’s Apology kojarzy się od razu z The Apology of Socrates, czyli Obroną Sokratesa (być może więc stosowniejszym tytułem polskim byłaby Obrona matematyka). Ciężko byłoby uwierzyć, że taka zbieżność jest przypadkowa, zwłaszcza, że Hardy sam będąc platonikiem poświęca sporo miejsca przedstawieniu swojej wizji matematyki jako innej rzeczywistości.
Motywem przewodnim całej książki było porównywanie matematyki do podrzędnej, zdaniem autora, gry w szachy. Było to tak nagminne i niesmaczne, że gdy przeczytałem:
„Możemy też przyjąć za pewnik, że przewaga twierdzenia matematycznego pod względem treści, rangi i znaczenia jest przygniatająca. Dla wyćwiczonego umysłu rzeczą niemal równie oczywistą jest to, że ma ono także wielką przewagę pod względem piękna, lecz tę przewagę znacznie trudniej określić lub umiejscowić, ponieważ główną wadą problemu szachowego jest po prostu jego banalność.”
a była to bodaj dziesiąta wzmianka o szachistach – krzyknąłem na głos: „Jezusie Chrystusie… Człowieku, dajże wreszcie spokój tym pieprzonym szachistom!”
Nie tylko szachy padły ofiarą Hardy’ego. Lamigłówki? Pff… Podrzędne i trywialne. Popularyzacja nauki? Podrzędne zadanie dla ludzi wypalonych. O czym dowiadujemy się zresztą już na samym początku popularnonaukowej książki, gdzie Hardy bez skrępowania eksponuje swoje kompleksy. A swoją drogą matematyka to jest w ogóle zabawa dla ludzi młodych (czy raczej młodych mężczyzn gwoli ścisłości – porównaj z w. ang.: „mathematics (…) is a young man’s game”) i matematyk po czterdziestce jest bezużyteczny. Autor podaje ów (nie)sławny przesąd do wierzenia w następujących słowach: „Żaden matematyk, nie powinien nigdy zapomnieć, że matematyka, bardziej niż jakakolwiek inna dziedzina sztuki czy nauki, jest domeną ludzi młodych.”
Później jest on wielokrotnie powtarzany, ale tak się rzeczy mają z niemal każdą myślą w tej książce... Nawet z ubolewaniem nad tym, że czytelnik dla którego przeznaczona jest ta pozycja nie zrozumie piękna Prawdziwych twierdzeń i głębi Prawdziwych dowodów matematycznych, więc... nie zostaną mu one pokazane i będzie musiał zadowolić się dowodem nieskończoności liczb pierwszych i niewymiernością pierwiastka z 2, są to jedyne okruchy matematyki w tej książce i można by je nawet docenić gdyby nie to, że Hardy nie mógł przegapić okazji, żeby powiedzieć coś głupiego konkludując je następująco: „Nie będę więc próbował podawać następnych przykładów. Te, które przytoczyłem, są próbkami i Czytelnik nie potrafiący ich docenić, prawdopodobnie nie doceni w matematyce niczego.”
Narzuca mi się tu zestawienie ze słowami, które usłyszałem kiedyś błądząc po YouTubach, gdy trafiłem na widełło Bogdana Misia pt. Nowe Ślady Pitagorasa XVII, w którym autor – polski popularyzator nauki tak powiada o hipotezie Goldbacha: „Nie zniechęcając nikogo – jeśli nawet najsłynniejsi matematycy świata nie dali sobie z tym rady przez tyle czasu to osoby bez najwyższego wykształcenia matematycznego niech raczej dają sobie spokój.”
Obaj popularyzatorzy (powinienem raczej powiedzieć: depopularyzatorzy) uderzając od razu w protekcjonalny ton i namaszczając się hojnie świętą hipokryzją przystępują de facto do zniechęcania ludzi do matematyki. Co to ma być? Co to za metoda? Co to ma na celu? Prowokację? Metoda popularyzacji pod włos, na modłę przygłupiego dresa spod bloku: „No co, cykasz się zająć matematyką, cykasz się?” Spadówa! Do pasji mnie doprowadza taka irracjonalność. Odczuwasz pogardę dla laików względem twojej dziedziny oraz do popularyzacji nauki samej w sobie? Świetnie! Napisz esej popularnonaukowy dla maluczkich! Daj im znać gdzie ich miejsce, niech znają Pana! Powalająca konsekwentność. Dwa zabobonne i przeciwstawne debilizmy. Miś zignorował całkowicie przypadki takie jak Evarist Galois, który nie zdawszy dwukrotnie egzaminów do École polytechnique, a zatem nie tylko nie mając św. Najwyższego Wykształcenia Matematycznego, ale nie mając wykształcenia matematycznego W Ogóle (!) i będąc nastolatkiem spłodził teorię pozwalającą na systematyczne rozwiązanie problemu, z którym matematycy nie dawali sobie rady przez 350 lat.
Warto by też zapytać co Pan Miś powie o Banachu, który nie był w stanie zaliczyć nawet dwóch lat studiów, bo go nudziły, a napisanie i obronę swojej pracy doktorskiej (nie do pomyślenia jest obecnie swoją drogą obrona doktoratu bez ukończonych 9 lat studiów) zawdzięczał przebiegłości Steinhausa.
I tak, wiem, że można by w tym miejscu podetrzeć się starą dobrą mądrością ludową i wybełkotać, że wyjątek tylko potwierdza regułę. Po pierwsze gówno prawda, a po drugie takie głupie gadanie nie tylko nie dodaje nauce popularności, ale wręcz przeciwnie jest zniechęcające dla młodych talentów, a przez to toksyczne i szkodliwe. W związku z czym postuluję, żeby sparciali i odpaleni matematycy raczej dali sobie spokój niż szarpali się za popularyzację nauki, którą nie tylko pogardzają, ale do której przede wszystkim nie są zdolni.
Co do Hardy’ego, ów uzasadniając swoją tezę przypadkiem Galois (który zmarł w wieku lat 20; autor podaje 21) i Abla (który zmarł w wieku lat 26; autor podaje 27) – użył on tylko tych przykładów, które potwierdzały jego tezę, a zignorował te które jej zaprzeczały (niemal dokładnie tak jak pan Miś, tylko, że w drugą stronę). Jak choćby Eulera, który pomimo ślepoty i podeszłego wieku był czynnym matematykiem i płodził kolejne dzieła aż do swojej śmierci w wieku lat 76. Pod tym względem autor został znów upokorzony przez historię. Grigori Perelman miał 37 lat, gdy udowodnił hipotezę geometryzacyjną Thurstona dowodząc tym samym prawdziwości hipotezy Poincaré (która czekałą na dowód niemal 100 lat), a Andrew Wiles miał ponad 40 lat, gdy udowodnił wielkie twierdzenie Fermata (czekające na dowód ponad 350 lat) – tutaj nie mogę powstrzymać się przed jeszcze jednym małym przytykiem wobec Bogdana Misia: Wiles powiedział w jednym z wywiadów, że do nauki i studiowania matematyki zmotywowało go zdarzenie z dzieciństwa, gdy usłyszał właśnie o tym nieudowodnionym wówczas twierdzeniu. Śmiem podejrzewać, że gdyby jakiś Życzliwy powiedział mu wówczas, żeby bez najwyższego wykształcenia matematycznego nie zawracał sobie nawet głowy, poczekalibyśmy na dowód Ostatniego Twierdzenia Fermata jeszcze kilkanaście dodatkowych lat. Ciekawe ile moglibyśmy nie-czekać na dowody innych hipotez, gdyby pewni ludzie zamiast zajmować się zniechęcaniem młodych i zdolnych do mierzenia się z takimi problemami  w ramach popularyzacji nauki po prostu sobie darowali?
Nie mam już siły rozwodzić się nad wprowadzonym przez autora rozróżnieniem na matematykę elementarną i "Prawdziwą matematykę Prawdziwych matematyków", jest to tak głupie, że nie wymaga dalszego komentarza. Pozwól, że poddam tylko Twemu osądowi niniejszy cytat:
„Nie sposób zaprzeczyć, że spora część matematyki elementarnej – używam tego słowa „elementarna” w takim znaczeniu, w jakim stosują je zawodowi matematycy, obejmującym na przykład rzetelną praktyczną znajomość rachunku różniczkowego i całkowego – jest bardzo użyteczna w praktyce. Te działy matematyki są na ogół dość nieciekawe: mają akurat najmniej walorów estetycznych. Prawdziwa matematyka prawdziwych matematyków – Pierre’a Fermata, Leonharda Eulera, Gaussa, Abla i i Riemanna – jest niemal zupełnie nieprzydatna (i dotyczy to zarówno matematyki stosowanej, jak i czystej). Nie można zatem oceniać życia jakiegokolwiek autentycznego matematyka  z punktu widzenia użyteczności jego pracy.”
W kwestii przydatności matematyki historia również zakpiła z krótkowzroczności Hardy’ego okrutnie. Zdanie autora na ten temat najlepiej streszcza niniejszy fragment:
„Nasuwa się zatem oczywisty wniosek ogólny. Jeżeli przydatna wiedza jest, jak wstępnie uzgodniliśmy czymś, co może teraz lub w stosunkowo bliskiej przyszłości przyczynić się do materialnej wygody ludzkości, tak że sama satysfakcja intelektualna nie ma tu nic do rzeczy, to znaczna część matematyki wyższej pozostaje bezużyteczna. Współczesna geometria i algebra, teoria liczb, teoria zbiorów i funkcji, teoria względności, mechanika kwantowa – żadna z nich nie wytrzymuje próby lepiej niż pozostałe i nie ma prawdziwego matematyka, którego życie można by uzasadnić na tej podstawie. Z tego punktu widzenia Abel, Riemann i Henri Poincaré zmarnowali swoje życie; wnieśli znikomy wkład w poprawę standardu ludzkiego życia, a bez nich świat byłby miejscem równie szczęśliwym.”
Apologia matematyka została wydana w 1940 roku. W 1941 teoria liczb pozwoliła złamać szyfr Enigmy. W 1945 teoria względności przyczyniła się do kończącego wojnę zrzucenia bomb atomowych na Hiroshimę i Nagasaki. A to, że czytasz ten tekst i masz niemal każdą informację na wyciągnięcie ręki i parę pociągnięć kciuka lub myszki nie byłoby możliwe bez mechaniki kwantowej.
Autor miał sporego pecha i fatalne wyczucie czasu, jego ślepota na długofalowe skutki nie mogła zostać bardziej wyśmiana przez historię.
W poczet rzeczy pozytywnych, które wyciągnąłem z tej lektury zaliczam to, że dowiedziałem się o teorii Eudoksosa, o której wcześniej nie słyszałem, a która miała być przedstawiona w V księdze Elementów Euklidesa. Swoją drogą, wyjaśniło się pewne nieporozumienie – zawsze myślałem, że Elementy traktują wyłącznie o geometrii i że są autorskim dziełem Euklidesa. Okazało się jednak, iż rzeczona pozycja jest kompilacją dzieł innych uczonych dokonaną przez Euklidesa – swego rodzaju podsumowaniem ówczesnego stanu wiedzy. Tak też, dowiedziałem się, że stamtąd pochodzi dowód twierdzenia, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele oraz że klasyczny dowód niewymierności pierwiastka z 2 przypisuje się Pitagorasowi. Oba dowody pojawiają się w paragrafie 12 i warte są uwagi, ale żeby nie odsyłać Cię do książki, podam je na końcu tej recenzji.



Pozycji niniejszej czytać nie warto.
Ocena:
2/10

Dowód Pitagorasa nieskończonej ilości liczb pierwszych

Definicja liczby pierwszej:
Liczba pierwsza to taka liczba całkowita, która dzieli się bez reszty jedynie przez 1 i siebie samą.
Założenie:
Załóżmy, że liczb pierwszych jest skończona ilość i oznaczmy pn jako ostatnią liczbą pierwszą.

Wtedy zbiór wszystkich liczb pierwszych jest zbiorem zamkniętym: {p₁ , p₂ , … , p_n}

Możemy teraz rozważyć liczbę X która jest o 1 większa od iloczynu wszystkich liczb pierwszych.
X = p₁ * p₂ *… *p_n + 1,
gdzie p₁ to pierwsza liczba pierwsza,
p₂ to druga liczba pierwsza, itd. aż do
p_n, która jest ostatnią liczbą pierwszą.

Zauważmy następnie, że X przy dzieleniu przez jakąkolwiek liczbę pierwszą z naszego zbioru daje resztę 1. To znaczy, że nie jest podzielna przez żadną liczbę pierwszą z naszego zbioru! Musi być ona zatem liczbą pierwszą większą od  p_n albo liczbą złożoną, która dzieli się przez liczbę pierwszą większą od p_n, co stoi w sprzeczności z naszym założeniem i dowodzi, że liczb pierwszych nie może być skończenie wiele, a zatem jest ich nieskończenie wiele.
Q.E.D.

Dowód Euklidesa niewymierności √2

Założenie:
Załóżmy, że √2 jest liczbą wymierną.
To oznacza, że da się go przedstawić w formie nieskracalnego ułamka a / b,
gdzie a i b są liczbami całkowitymi niemającymi wspólnych dzielników.

Z tego wynika, że √2 = a / b
Podnosząc obie strony do kwadratu otrzymujemy: 2 = a² / b²
Z tego wynika, że a² = 2*b²
Widzimy, że a² jest liczbą parzystą.
Wiemy również, że tylko liczba parzysta podniesiona do kwadratu daje liczbę parzystą
(patrz: Lemat poniżej).
Tak więc a musi być liczbą parzystą, co możemy zapisać jako: a = 2k,
gdzie k to jakaś liczba całkowita.
W miejsce a we wzorze a² = 2*b² podstawiamy a = 2k.
Otrzymujemy:  4*k² = 2*b²
Z czego wynika, że:  b² = 2*k²,
co oznacza b również musi być liczbą parzystą.

Z powyższego rozumowania wynika, że a i b mają wspólny dzielnik, co jest sprzeczne z założeniem.
Nasze założenie jest zatem nieprawdziwe, a więc √2 jest liczbą niewymierną.
Q.E.D.

Lemat: Jeżeli x² jest parzyste to x jest parzyste

x - dowolna liczba całkowita
Dowód przez sprzeczność:
Wiemy, że x² jest parzyste.
Załóżmy teraz, że x jest nieparzyste.
To oznacza, że możemy x zapisać w postaci x = 2k + 1, gdzie k jest liczbą całkowitą.
Wówczas x² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2*(2k² + 2k) + 1
Z powyższej nierówności wynika, że x² jest nieparzyste, co stanowi sprzeczność i kończy dowód.
Q.E.D.